Задачи на движение с сопротивлением

Решение:

Тела одинаковой формы двигаются с равными скоростями на большом расстоянии друг от друга. Следовательно, действующие на них силы сопротивления воздуха F_с равны по абсолютной величине.

Силы, действующие на каждое тело, компенсируются. В условии это сказано лишь про всю систему — следовательно, это требует пояснения при решении. Каждое тело по отдельности движется с постоянной скоростью, и поэтому силы компенсируются. Достаточным обоснованием будет ссылка на условие задачи, где сказано, что для равномерно движущихся тел все силы компенсируются.

Пусть для определенности ρ₂ > ρ₁. Тогда второе тело будет лететь ниже первого.

Уравнение движения для первого тела:

ρ1Vg + T = Fc,

где T — искомая сила натяжения нити.

 

Для второго тела:

ρ2Vg − T = Fc.

Вычитая из первого выражения второе, получаем ответ:

T = Vg	ρ2 − ρ1	.
	2

Если считать, что первое тело тяжелее, ответ будет другого знака. Также в этом случае поменяются знаки для силы натяжения в уравнениях (см. выше).

Решение:

Обозначим расстояние от A до Б через S, а скорость течения реки — через u. Скорость движения лодки с одним мотором относительно воды обозначим через v. Поскольку при установке на лодку двух моторов сила тяги вырастает вдвое, а сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения лодки относительно воды, то скорость движения лодки с двумя моторами относительно воды равна √2 • v.

Из условия задачи не известно, какой из населённых пунктов — А или Б — находится выше по течению реки. Поэтому нужно проверить два варианта:

1) A находится выше по течению;
2) Б находится выше по течению.

Для первого варианта имеем уравнения:

S	= t1,	S	= t2 =	t1	.     (1)
u + v		u + √2 • v		2

Для второго варианта:

S	= t1,	S	= t2 =	t1	.     (2)
v − u		√2 • v − u		2

Для варианта (1), разделив одно уравнение на другое, получим:

u + √2 • v	= 2,
u + v

откуда:

u	= √2 − 2   < 0.
v

Так как u и v положительны, то отсюда следует, что система (1) не имеет решения. Значит, (A) находится ниже по течению, чем (Б). Из системы (2), поделив уравнения друг на друга, получаем:

u	= 2 − √2.
v

Чтобы найти время движения из Б в A на лодке с одним или двумя моторами, нужно вычислить величины:

t3 =	S	,  t4 =	S	.     (3)
	u + v		u + √2 • v

Выражая из (2) S через t₁ и подставляя в (3), получаем:

t3 =	1 − u/v	• t1 =	√2 − 1	• t1 ≈ 13,6 мин,
	1 + u/v		3 − √2

это время движения с 1 мотором.

t4 =	1 − u/v	• t1 =	√2 − 1	• t1 ≈ 10,35 мин,
	√2 + u/v		2

— время движения с 2 моторами

Решение:

При движении каждого шарика в установившемся режиме разность величин действующих на него силы Архимеда и силы тяжести равна силе сопротивления движению αv, где v — скорость соответствующего шарика, а α — коэффициент пропорциональности, одинаковый для обоих шариков. Поэтому на удерживаемые неподвижно шарики со стороны воды и Земли в вертикальном направлении действуют силы αv₁ и αv₂, а при движении соединённых ниткой шариков в установившемся режиме их скорость v может быть найдена из условия:

αv1 − αv2 = 2αv.

Отсюда:

v =	v1 − v2	.
	2

Если v₁ > v₂, то шарики всплывают, а если v₁ < v₂, то тонут. При v₁ = v₂ они находятся в равновесии, то есть v = 0.

Решение:

При движении шарика в жидкости на него действуют сила тяжести F_m, направленная вниз, сила Архимеда F_A, направленная вверх, и сила вязкого трения F_mp, зависящая, как это следует из условия задачи, от скорости и от диаметра шарика. Две первые силы являются объёмными. Это значит, что их разность пропорциональна разности ρ − ρ_ж (ρ — плотность шарика) и объёму шарика, то есть кубу его диаметра d:

| Fm − FA | = A | ρ − ρж |d3.

Здесь A — коэффициент пропорциональности. Предположим, что сила вязкого трения зависит от диаметра шарика d и его скорости v следующим образом:

Fтр = B • dn • vm,

где B — коэффициент пропорциональности, n и m — неизвестные показатели степени. При движении с постоянной скоростью разность сил тяжести и Архимеда равна по величине силе вязкого трения. Тогда для пузырька диаметром d₁ имеем:

Aρжd13 = Bd1nv1m,

откуда:

v1 = m√(	A	ρжd13 − n).
	B

Аналогично с учётом условия задачи для пузырька диаметром d₂ получаем:

v1 = m√(	A	ρж(2d1)3 − n) = 4v1 = 4 • m√(	A	ρжd13 − n).
	B		B

откуда следует уравнение:

2(3 − n)/m = 22,   или    3 − n = 2m.

Далее, для дробинки диаметром d₂, учитывая, что v₃ = 4v₂ и ρ_д = 5ρ_ж, получаем:

v3 = m√(	A	(ρд − ρж)d23 − n) = m√(	A	5ρжd23 − n) = 4 • m√(	A	ρжd23 − n),
	B		B		B

откуда находим, что m = 1. Зная m, определяем, что и n = 1. Значит, зависимость F_тр(d,v) имеет следующий вид:

Fтр = Bdv.

Теперь можно найти скорость u, с которой будет всплывать пластмассовый шарик. Учитывая, что его плотность равна (2/3)ρ_ж , получаем:

u =	A	(ρж −	2	ρж) • (3d1)2 = 3	A	ρжd12 = 3v1 = 1,5 см/с.
	B		B		B

Решение:

До приложения силы f выполнялось равенство:

(m − ρV)g = kv2,

где k — коэффициент пропорциональности между силой сопротивления движению шарика и его скоростью. После приложения дополнительной силы f суммарная сила F, действующая на шарик, равна по величине:

F = ku2 = √((m − ρV)2g2 + f2)

и направлена вместе с вектором установившейся скорости u под таким углом α к вертикали, что:

tg α =	f	.
	(m − ρV)g

Поэтому вертикальная проекция скорости шарика станет равной

v1 = u • cos α:

Решение:

Так как тело движется вдоль оси x, то его ускорение, в соответствии со вторым законом Ньютона, равно:

ax =	fx	= −	α(x)	v2.
	m		m

Из условия задачи следует, что тело, пущенное в начальный момент времени из начала координат с начальной скоростью v_o, движется равнозамедленно. Обозначим ускорение тела a_x при данных начальных условиях через −a = const. Координата тела x и его скорость v зависят от времени t следующим образом:

x = vot −	at2	, v = vo − at.
	2

Отсюда с учётом предыдущей формулы имеем:

a =	α(x)	(vo − at)2.
	m

Поэтому:

α(x) =	ma	=	m	=	m	.
	(vo − at)2		vo2/a − 2vot + at2		2(vo2/a − x)

Таким образом, тело, пущенное из начала координат со скоростью v_o, может двигаться равнозамедленно только тогда, когда зависимость α(x) имеет вид:

α(x) =	m	,
	2(X − x)

где:

X =	vo2	— некоторое положительное число.
	2a

Отметим, что X имеет смысл расстояния, которое проходит тело от начала координат до полной остановки, и зависит только от свойств среды. При этом последнюю формулу следует понимать в том смысле, что тело, пущенное с некоторой скоростью v_o, движется с ускорением:

a =	vo2	,
	2X

которое определяется начальной скоростью и свойствами среды. Нас не должно удивлять наличие в выражении для α(x) массы тела m. При другой массе m_o, но тех же размерах, форме и начальной скорости тела его движение в среде с зависимостью α(x), соответствующей массе m, уже не будет равнозамедленным!

Решение:

В любой момент движения ускорение лодки, согласно второму закону Ньютона, равно:

a = −	αv	,
	m

где v — скорость лодки в этот момент. Это пример движения с переменным ускорением (чем меньше скорость, тем медленнее она уменьшается), при котором в случае идеального выполнения условий задачи лодка будет двигаться бесконечно долго (хотя и очень медленно в конце). Из этого, правда, не следует, что тормозной путь будет бесконечным. Как же его найти? Умножим обе части предыдущего уравнения на небольшой промежуток времени Δt, за который изменениями v и a можно пренебречь:

aΔt = −	α	vΔt.
	m

Теперь заметим, что aΔt — это приращение скорости Δv за время Δt, a vΔt — приращение пути Δl за это же время. Так как момент времени был выбран совершенно произвольно, можно сделать вывод, что для того, чтобы скорость изменилась на Δv, лодка должна пройти путь:

Δl =	m	Δv.
	α

(минус в выражении объясняется тем, что Δv отрицательно). Из условия ясно, что за достаточно большое время скорость лодки уменьшается от начального значения v_o практически до нуля. Тогда весь пройденный путь равен:

l =	m	vo.
	α

1. Из двух портов, расстояние между которыми l, одновременно выходят два катера со скоростями v₁ и v₂, направленными соответственно под углами α и β к прямой, соединяющей порты. Каково минимальное расстояние между ними?

[ rmin =	l (v2 sin β − v1 sin α)	]
	√(v12 + v22 + 2v1v2cos(α + β))

 

2. С поверхности Земли бросили вертикально вверх кусочек пластилина со скоростью v_o. Одновременно такой же кусочек пластилина начал падать без начальной скорости с высоты H. При столкновении кусочки слиплись. Через какое время после начала бросания и с какой скоростью слипшийся комок упадет на Землю?

[ t =	vo + √(vo2 + 4gH)	]
	2g

[ v =	√(vo2 + 4gH)	]
	2

 

3. С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью 30,1 c. Длительность импульса, принятого на лодке после его отражения от дна, равна 29,9 c. Определите скорость погружения лодки. Скорость звука в воде 1500 м/с.

[ v = vЗ	t1 − t2	= 5 м/с ]
	t1 + t2

 

4. Пловец переплывает реку шириной L по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время t₁ = 4 мин. Проплывая такое же расстояние L вдоль берега реки и возвращаясь обратно, пловец затрачивает время t₂ = 5 мин. Во сколько раз α скорость пловца относительно воды превышает скорость течения реки?

[ α =	t2	=	5	]
	√(t22 − t12)		3

 

5. Жонглер бросает вертикально вверх шарики с одинаковой скоростью через равные промежутки времени. При этом пятый шарик жонглер бросает в тот момент, когда первый шарик возвращается в точку бросания. Найдите максимальное расстояние S_max между первым и вторым шариками, если начальная скорость шариков v_o = 5 м/c. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/c². Сопротивлением воздуха пренебречь.

[ Smax =	3vo2	≈ 0,94 м. ]
	8g

 

6. Вдоль железной дороги через каждые 100 м расставлены столбики с номерами 1, 2,..., 10, 1, 2,..., 10,.... Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Через какое время после проезда этого столбика кабина машиниста может проехать мимо ближайшего столбика с цифрой «3»? Скорость поезда меньше 100 км/ч.

[ t1 = 120 с,   t2 = 10,9 с,   t3 = 5,7 с,   t4 = 3,9 с ]

 

7. У мальчика, сидящего на вращающейся с угловой скоростью w карусели на расстоянии R от ее оси, выпали из кармана с интервалом t два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна h?

[ ΔL = 2R • |sin	wt	| • √(1 +	2hw2	) ]
	2		g

 

8. Первый вагон тронувшегося с места поезда прошел мимо неподвижного наблюдателя, стоявшего у начала этого вагона, за время t₁, последний вагон — за t₂. Считая движение поезда равноускоренным, а длины вагонов одинаковыми, найдите время движения мимо наблюдателя всего поезда.

Ответ:   t =	t12 + t22	,
	2t2

если исходные данные таковы, что:

(	t12 + t22	)2   — целое число,
	2t1t2

то искомое время:

t =	t12 + t22	;
	2t2

если:

(	t12 + t22	)2   — не является целым числом,
	2t1t2

то задача решения не имеет.

 

9. На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью, падает вертикально вниз упругий шарик. Определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за время t, а за время между двумя последовательными ударами об пол проходит путь L относительно Земли.

[ u = √(g(L − gt2)).

Из этого выражения следует, что задача имеет решение, если исходные данные удовлетворяют условию:

L > gt2.

При невыполнении этого условия в рамках сделанных предположений задача не имеет решения.]

 

10. Эскалатор метро движется со скоростью v. Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на одну ступеньку вперёд и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время t. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шёл другим способом: делал два шага вперёд и один шаг назад? Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперёд и назад одинакова и равна u. Считайте, что размеры ступеньки много меньше длины эскалатора.

[ t1 =	(3v − u)t	]
	3v + u

 

11. На полу около стены стоит гладкий клин. На его плоскости, образующей с горизонтом угол φ, лежит груз, удерживаемый невесомой нерастяжимой нитью. Один конец нити прикреплен к стене так, что участок нити между стеной и клином горизонтален. Остальная часть нити лежит на наклонной плоскости (рисунок). Найдите зависимость от времени t скорости движения груза относительно пола после начала движения клина от стены с ускорением a, параллельным горизонтальному участку нити.

[ vгр(t) = 2at sin (	φ	). ]
	2

 

12. Стержень длиной l = 0,85 м движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости концов стержня равны v₁ = 1 м/с и v₂ = 1,5 м/с, причем скорость первого из них направлена под углом α = 30° к стержню. Какова угловая скорость w вращения стержня вокруг его центра?

[ w =	1	(v1 sin α + √(v22 − v12cos2α)) ≈ 2 рад/с. ]
	l

 

13. Маленький шарик падает без начальной скорости с некоторой высоты H на наклонную плоскость (рисунок). После удара он попадает на вторую плоскость. Точка первого удара находится на расстоянии L от линии соприкосновения плоскостей. С какой высоты H упал шарик, если после двух упругих ударов он снова поднялся на ту же высоту? Угол наклона плоскостей к горизонту равен α, причем α < π/4.

[ H =	L	. ]
	sin 4α

 

14. Дымовая шашка падает вертикально с высоты H_o с нулевой начальной скоростью. Дым сносится ветром, который дует горизонтально на всех высотах с постоянной скоростью v_o. На сколько будет снесен относительно вертикальной траектории шашки на высоте h над поверхностью Земли в момент падения шашки на земли? Ускорение свободного падения g.

[ x = vo√(	2ho	)(1 − √(1 −	h	)). ]
	g		Ho

 

15. Колесо катится без проскальзывания с постоянной скоростью v. С верхней точки обода колеса срывается камешек. Через какое время колесо наедет на этот камешек? Радиус колеса R, ускорение свободного падения g.

[ T = 4√(	R	). ]
	g

 

16. Зал для зимнего футбола имеет высоту h = 8 м и длину L = 100 м. Найти скорость мяча, при которой он пролетит от ворот до ворот, почти коснувшись потолка. Ускорение свободного падения g =10 м/с². Сопротивлением воздуха и размером мяча пренебречь.

[ v = 1,312√(gL) = 41,5 м/с]

 

17. В коридоре длиной 11 м и с высотой потолка 3 м у самого начала ударяют о пол мяч со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. На какой высоте от пола ударяется мяч о торцевую стенку коридора?
[h = 2,03 м]

18. Трактор «Беларусь» поворачивает так, что частота вращения одного из задних колес равна n₁ = 1,5 об/с, а другого — n₂ = 1,4 об/с. Расстояние между колесами равно l = 1,9 м. Определите радиус разворота трактора.
[R = 27,6 м]

19. Орудие, установленное на горе высотой h = 2000 м, посылает горизонтально снаряд со скоростью v₁ = 800 м/с. Через промежуток времени τ = 5 c из этой же точки выпускается другой снаряд. Какой скоростью v₂ он должен обладать и как его надо выпустить, чтобы оба снаряда одновременно упали в одну точку поверхности Земли?

[ v2 =	l	= 1,07 км/с,
	(1 − τ)cos α

α = arctg 0.055 = − 3°12'. ]

 

 

20. На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зелёный – в течение следующих 30 секунд. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зелёный свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зелёный свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зелёный свет, далее нигде не останавливаться?

[ vn =	1 км	=	1 км × 3600	=	120		км	= 120 км/ч, 40 км/ч, 24 км/ч ...]
	(30 + 60n) c		(30 + 60n) час		2n + 1		ч