.: Назад в кабинет математики виртуальной физико-математической школы :.

Дробь-монстр

Сократить дробь:

Подсказка. Если не удается сократить дробь a/b, сократите сначала дробь (a-b)/(a+b) или что-то вроде этого.

Парабола и окружность

Пусть любая парабола, заданная уравнением y=x^2+bx+c пересекает ось OX в двух точках. Пусть эта парабола пересекает ось OY не в начале координат. Известно, что через любы три точки плоскости, не лежащих на одной прямой, можно провести окружность и только одну.

Доказать, что все эти окружности имеют общую точку. Какова ее координата?

Треугольник и медиана

В произвольном треугольнике ABC отрезок BD - медиана, а точка Е делит сторону BC как 1:2.

Обозначим точку пересечения медианы BD и отрезка AE.

Найдите отношение площади треугольника AOD к площади треугольника ABC.

Решите ту же задачу, если в треугольнике ABC отрезок BD - медиана, а точка Е делит сторону BC как n:m.

Подсказка: решение помещается на кусочке бумаги с той же площадью, что этикетка спичечного коробка.

Чудак на железной дороге

Один чудак любил сидеть у железной дороги и смотреть на поезда. Он замечал восьмизначные номера на стремительно пролетающих мимо товарных вагонах, быстро возводил их в квадрат, у полученного числа считал сумму цифр, затем у полученного числа снова считал сумму цифр и так далее, пока не получится однозначное число.

Он обратил внимание, что числа 2 и 8 после таких операций получались значительно реже, чем число 7.

Как объяснить такое странное явление?

Велосипедисты с фляжкой

По окружности велотрека в одну сторону едут велосипедисты. Скорости их попарно различны. Судья соревнований заметил, что никогда не было таких моментов, что трое велосипедистов встретились одновременно, хотя попарно они конечно встречались, ведь их скорости различны.

На всех велосипедистов была одна фляжка. По правилам соревнований, если велосипедист с фляжкой обгоняет другого, или если его обгоняет другой, то он обязан передать при встрече фляжку обогнавшему или отставшему велосипедисту.

Доказать, что каждый велосипедист обязательно подержит фляжку.

Четное совещание

2n человек сидят за круглым столом на совещании, расстояние между соседями одинаковое. После перерыва на обед совещание возобновилось, и участники совещания сели за стол в произвольном порядке.

Доказать, что обязательно найдется пара совещавшихся, расстояние между которыми не изменится.

Удвоение сфер

Парадокс Банаха—Тарского

Парадокс был придуман в 1920-х годах двумя замечательными математиками Банахом и Тарским, которые для этого даже не встречались. Они обнаружили, что обычную сферу можно «разрезать» на несколько частей, из которых потом можно сложить две точно такие же сферы.

Читать об этом в Википедии...
Некоторое время этот парадокс считали опровержением аксиомы выбора, используемой при его доказательстве, поскольку в него никто не верил. Потом осознали, что ничего страшного здесь нет. Кроме аксиомы выбора в доказательстве используются построение множества Витали, неизмеримого относительно произвольной «хорошей» меры, сдвиг натурального ряда (если к каждому натуральному числу прибавить 1, то получится тот же самый натуральный ряд и ещё одна точка)

Изящное квадратное уравнение

Задача национальной канадской олимпиады по математике.

Ренди: Привет, Рейчел, ты написала интересное квадратное уравнение. Каковы его корни?

Рейчел: Его корнями являются два натуральных числа. Один из корней – мой возраст, другой – возраст моего младшего брата Джимми.

Ренди: Это очень изящно! Посмотрим, смогу ли я вычислить, сколько лет тебе и сколько Джимми. Это не должно быть сложным, ведь коэффициенты твоего уравнения – целые числа. Кстати, я заметил, что сумма всех трёх коэффициентов – простое число.

Рейчел: Интересно. Так посчитай, сколько мне лет.

Ренди: Вместо этого я попытаюсь угадать твой возраст и подставить его вместо x… Хм, получилось – 55, а не 0. (минус 55)

Рейчел: Уйди, противный!

Докажите, что Джимми два года.
Определите возраст Рейчел.

Странные четырехугольники

Можно ли на плоскости начертить два четырехугольника так, чтобы периметр внутреннего четырехугольника был больше периметра внешнего?

Обгоревшая параболическая антенна

В НИИ прикладной математики и механики (Томск) примерно в 1988 году перед сотрудниками поставили следующую секретную задачу.

В некотором космическом корабле есть деталь в форме эллиптического параболоида. Это может быть параболическая антенна или элемент топливного бака. Что именно - секрет.

Известно, что параболическая поверхность собирает все отраженные лучи в одной точке, которую называют фокусом).

Во время полета в плотных слоях атмосферы параболическая поверхность равномерно обгорает (или покрывается равномерно слоем льда).

Останется ли у обгоревшей или покрытой льдом поверхности свойство фокусировать лучи в одной точке?

Задача весьма актуальна: испортится ли антенна, если ее покрасить краской?

Три мудреца

Три мудреца поспорили, кто из них самый умный и самый мудрый. Они пришли к царю и попросили его рассудить их.

Царь показал им две черные шляпы и три белые шляпы, и сказал:
- Сейчас вы закроете глаза, и я надену каждому из вас какую-то шляпу из этих пяти, оставшиеся две шляпы я спрячу. Потом вы откроете глаза, но свою шляпу вы не увидите, увидите только шляпы других мудрецов. Кто первый догадается, какая на нем шляпа, тот и есть самый мудрый из вас.

Так и сделали. Царь надел на мудрецов три белые шляпы, а две черные шляпы спрятал и разрешил мудрецам открыть глаза.

Долго смотрели мудрецы друг на друга...
Наконец, один из них воскликнул:
- На мне белая шляпа!
Как он догадался?

Математик на свидании

1. Однажды математик назначил свидание своей девушке.

- Но знаешь, дорогая, - сказал ласково влюбленный математик, - я буду ждать тебя на нашем месте с 5 до 6 часов дня, и смогу ждать тебя не больше 10 минут.

- Знаешь, любимый, я приду, но тоже не знаю, когда точно. Тоже приду между 5 и 6 часами дня и буду ждать тебя не больше 10 минут.

- Дай-ка я посчитаю вероятность нашей встречи, - загорелся математик.

- Да не хватайся ты за карандаш, горе ты мое!

Найдите вероятность встречи двух влюбленных.

2. Однажды n человек договорились прийти на одно и то же место между 5 и 6 часами и договорились ждать друг друга не более 10 минут. Найдите вероятность того, что все n человек встретятся вместе.

17 обезумевших мух.

17 обезумевших мух носятся как угорелые в закрытой стеклянной сфере радиусом R=1 м. Некоторые особо зарвавшиеся мухи достигают скорости звука. Особо наглые мухи иногда позволяют себе поползать по стеклянной поверхности сферы или просто сидеть на стекле чтобы снова броситься в безумный полет.

Доказать, что в любой момент времени найдутся три мухи, между каждыми из которых расстояние не больше квадратного корня из 3 метров.

Теорема Ферма

Докажем знаменитую теорему Ферма.

Теорема. Для любого натурального n > 2 уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет натуральных решений x, y и z.

Доказательство.

Рассмотрим два утверждения.

1. "Существует натуральное n>2, для которого уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ имеет хотя бы одно натуральное решение x, y и y."

2. "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно".

Это просто утверждения, они ничего не доказывают, они могут быть истинными или ложными, рассмотрим их.

О первом утверждении пока ничего не можем сказать, рассмотрим второе утверждение.
Оно может быть истинным или ложным.

Если предположить, что второе утверждение ложно, то неверно высказывание "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно". Значит и первое, и второе высказывания истинны. Но по нашему предположению второе высказывание ложно. Полученное противоречие (второе утверждение одновременно истинно и ложно) доказывает, что предположение неверно, поэтому второе утверждение может быть только истинным.

Итак, мы убедились, что "Одно из утверждений 1 или 2 - ложно" - истинное высказывание. 2-е высказывание - истинно, значит первое высказывание может быть только ложным.

Значит, не существует натурального n>2, для которого уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ имеет хотя бы одно натуральное решение x, y и z.

Значит, для любого натурального n > 2 уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет натуральных решений x, y и z.

Теорема Ферма доказана.

А если серьезно, вы конечно, заметили, что таким же образом можно "доказать" все что угодно.

Найдите ошибку в доказательстве.

Познакомьтесь другое доказательство теоремы Ферма, проверьте его, все ли там чисто.

Задача профессора Пестова о внимательном геодезисте

Однажды группа туристов шла от подножия горы к вершине. Гора имела форму конуса, расстояние от подножия горы до вершины 800 м. (Образующая конуса - 800 м).

В группе туристов затесался один геодезист, который заметил, что они шли по тропе, вьющейся вокруг горы по спирали к вершине, и постоянно выдерживали угол 30 градусов к горизонту.

Какой путь проделали туристы, когда дошли до вершины?

Задача об очень отважном африканском летчике.

Отважный африканский пилот вылетел с аэродрома, который находился точно на экваторе, и во время полета строго придерживался курса Северо-Восток. И летел так до тех пор, пока либо не пересечет свою же траекторию, либо уже будет не в состоянии лететь.

Горючего у пилота было достаточно, его самолет в нужный момент заправляли заправщики.

Куда прилетит самолет, и какой путь при этом проделает? Недостающие данные найдите самостоятельно в Википедии.

Задача профессора Пестова

В ведро собирают смородину. Если собирать мелкую ягоду, то промежутки между ягодами будут меньше. Если собирать крупную ягоду, то промежутки между ягодами также крупнее.

Когда ведро с ягодой окажется тяжелее - с крупной ягодой или с мелкой?

Задача королевского портного

Король приказал портному Персерену сшить новое платье к празднеству в Фонтенбло. Платье сошьется успешно, если разрезать без отходов прямоугольное полотно на 5 различных равнобедренных треугольников. В противном случае портному Персерену не миновать Бастилии.

Есть ли у портного шанс не угодить в Бастилию?

Учтите, что квадрат является частным случаем прямоугольника, и вам надо разобрать случай для квадратного полотна.

Как стать отличником

Хотите стать успешными в учёбе? Легко!

Для этого есть несколько секретов. Выполнение даже одного любого из этих правил принесёт успех в учёбе. Я сам был троечником, и выбрался в отличники, поэтому эти секреты выстраданы и проверены.

Секрет 1. Как избавиться от троек? Чтобы избавиться от троек, надо составить распорядок дня от подъёма до сна, и неукоснительно следовать этому распорядку. Должно быть обязательное правило: не гулять до тех пор, пока не сделаешь домашнее задание и не выучишь уроки.

Конечно, когда тройки исчезнут, строго следовать распорядку дня не обязательно, даже, на мой взгляд, вредно. Но пока не исчезнут тройки – надо следовать этому правилу.

Секрет 2. Как усыпать свой дневник пятёрками? Наверняка у вас есть любимая игрушка (компьютер, велосипед, мотоцикл, кукла и проч.). Заведите себе правило: играть в эту игрушку только в тот день, в который вы получили хотя бы одну пятёрку, и вместе с тем ни одной тройки, и тем более, двойки; если не получили пять в субботу, то не имеете права играть в эту игрушку и в воскресенье. Жёстко следуйте этому правилу. Хотите играть в любимую игрушку – получайте пять ежедневно!

Секрет 3. Как стать отличником по конкретному предмету? Правило очень простое и легко выполнимое – делать домашнее задание по этому предмету в тот же день, когда его задали, не откладывать на потом. Делать домашнее задание не перед уроком, когда тебя спросят, а сразу после того, как его задали. У этого метода масса преимуществ: затрат времени не больше, а скорее меньше, ведь сразу после урока меньше вспоминать; психологически комфортно – сделал, и свободен; и, наконец, если задание очень сложное и сразу не решается – есть время подумать над ним на следующий день.

Хотите стать отличником по всем предметам? Делайте домашнее задание в тот же день, как его задали по всем предметам.

Секрет 4. Как усвоить материал? Сколько времени занимает дорога от школы домой, от института до общежития? Пока идёте домой, постарайтесь вспомнить, что сегодня было на каждом занятии, на каждой лекции, как можно подробнее. Конечно, вспомниться не всё. Тогда, придя домой, откройте свои записи и повторите то, что не смогли вспомнить. Преимущества этого метода – нужно очень мало времени, личное время и учебное время не тратится, материал запоминается лучше всего.

Секрет 5. Как сдать экзамен или зачёт на пять? При подготовке к экзамену сделать обзор всего материала. Что такое обзор? На большом листе вычерчивается блок-схема, в которой отражены основные определения, понятия, теоремы, леммы, формулы, соотношения, факты, события и т. п., а также вычерчиваются все логические связи между этими элементами. Тогда очень чётко видны все связи и следствия курса, суть курса. Перед экзаменом в качестве повторения следует составить такой обзор по памяти, не пользуясь конспектами, а также сделать такой обзор в уме. Этот секрет открыл нам, своим студентам наш университетский преподаватель Пестов Герман Гаврилович.

Секрет 6. Экзамен начинается на консультации. Чтобы успешно сдать экзамен, надо произвести впечатление на преподавателя на консультации: задать по меньшей мере три УМНЫХ вопроса. Причём задавать их надо примерно в таком порядке: сначала вопрос из конца курса, потом из начала курса, потом из середины курса. Тогда у преподавателя сложится впечатление, что вы хорошо ориентируетесь в курсе, – и половина экзамена сдана.

Секрет 7. Добейтесь, чтобы у вас списывали. Тогда придётся списывающим объяснять, как что получилось. Когда объясняешь, а тебя не понимают сразу – это очень хорошо, потому что тогда ищешь другой способ объяснить, и тогда происходит чудо: сам для себя открываешь обсуждаемый вопрос с неожиданной стороны.

Задача про муху

Угадайте загадку.

Между селами А и В 50 км. Из А в В выехал велосипедист со скоростью 25 км/ч. Навстречу ему из В вылетела муха со скоростью 50 км/ч. В момент их встречи муха врезалась в лоб велосипедисту и от страха полетела назад в В. Долетев до В, муха полетела обратно. Снова врезалась об лоб велосипедиста и опять полетела в В. Так муха летала от села B до велосипедиста и обратно, пока велосипедист не доехал до В. Тогда муха устала и успокоилась.

Сколько км пролетела муха?

Сопротивлением воздуха, массами велосипедиста и мухи, импульсом при соударении мухи о лоб велосипедиста - пренебречь.